A kinetic formulation of Hele-Shaw flow

In this note we consider a fourth order degenerate parabolic equation modeling the evolution of the interface of a spreading droplet. The equation is approximated trough a collisional kinetic equation. This permits to derive numerical approximations that preserves positivity of the solution and the main relevant physical properties. A Monte Carlo application is also shown. Formulation cinétique des écoulements de Hele-Shaw Résumé Dans cette Note, nous considérons une équation dégénérée du quatrieme ordre modélisant l’évolution de l’interface d’une goutte. L’équation est approchée par une équation collisionelle cinétique. Cela permet de construire des approximations numériques qui préservent la positivité de la solution et ses principales propriétés physiques. Un exemple “Monte-Carlo” est aussi présenté. Version francaise abrégée Dans cette Note, nous considérons l’équation de diffusion dégénérée du quatrieme ordre (1.1) qui modèlise la cellule de Hele-Shaw. Cette équation sera approchée par un modèle collisionnel de Boltzmann (2.13). La description cinétique présente certains avantages. Entre autres, la positivité de la solution ainsi que la conservation des principales quantités physiques peuvent être facilement établies. Il est alors possible de construire des schemas numeriques nouveaux même en utilisant des méthodes de “MonteCarlo”. Il est bien connu, en fait, que la construction de schemas numeriques pour (1.1) qui presérvent la positivité de la solution en temps ainsi que ses principales propriétés physiques est délicate, [8, 14]. Le processus-limite qui fait passer de l’équation cinétique a l’équation des films fins est analogue a ceux du type “quasi-elastique” pour les gaz granulaires [11] ou “collisions rasantes” pour la physique des plasmas [7, 13]. Des résultats sont présentés afin d’illustrer la validité de nôtre approche, cf. Théorèmes 3.1 and 3.2.